Gürkan Özsoy Blog
Kısmen Kişisel
Sonsuz Senfoni: Öklid İspatı ve Sonsuz Asalların Güzelliği
Mısır’ın İskenderiye kentinden gelen ünlü antik matematikçi Öklid, “sonsuz sayıda asal sayı vardır” şeklindeki olağanüstü teoremiyle matematiksel kavrayışın ufkunu önemli ölçüde genişletmiştir. Mantık ve soyutlamayı harmanlayan enfes bir kompozisyon olan bu teorem, sayı teorisinin özünü oluşturur.
Karmaşık olmayan ancak büyüleyici bir şekilde esrarengiz olan asal sayılar, sayı evreninin bölünmez varlıkları olarak mevcuttur. Yalnızca 1’e ve kendilerine bölünebilen bu sayılar, tüm sayıların yapı taşları, yani atomlarıdır. Basitlikleri aldatıcıdır; asal sayılar düzensiz bir ritimle dans eder, yüzyıllardır matematikçilerin kafasını kurcalayan fark edilebilir bir örüntü sergilemezler.
Öklid, çığır açan eseri “Elementler“de asal sayılar üzerine dikkat çekici teoremini ortaya koymuştur. Bu teoremin güzelliği sadece basitliğinde değil, ispatının zarafetinde de yatmaktadır. Öklit’in yaklaşımı hassas bir reductio ad absurdum (olmayana ergi) tekniği içerir. Buna göre, sonlu bir asal sayılar kümesi olduğuna dair cüretkâr bir hipotez ve sayıların benzersiz asal çarpanlara ayrılmasına dayanan mantıksal bir çözülmeden yola çıkmıştır. Asal sayıların sonlu bir listesi olduğunu varsayarsak, bu asal sayıların çarpımı artı 1, bu listenin bölünebilirliğinden kaçan bir sayı verecektir. Böylece bu çelişki bizi, asal sayıların sonsuzluğunun inkar edilemez sonucuna götürür.
İspat: Asal sayılar sonlu sayıda olsun ve bu sayıları $p_{1}, p_{2}, … , p_{n}$ şeklinde gösterelim.
$A=p_{1}.p_{2}. … .p_{n} + 1$ sayısını dikkate alalım. Bu sayı $p_{1}, p_{2}, … , p_{n}$ sayılarından hiçbirine bölünmez. O zaman bu sayı başka bir asal sayı olabilir. Bu durumda bu A sayısı $p_{1}, p_{2}, … , p_{n}$ sayılarından hangisine bölünürse bölünsün hep 1 kalanını verecektir. Öyleyse bu A sayısı sonlu kabul ettiğimiz $p_{1}, p_{2}, … , p_{n}$ asal sayılarından birine eşit değildir. Bu durumda A sayısı, $p_{n}$ sayısından büyüktür. En son sayıyı $p_{n}$ kabul ettiğimiz halde bundan büyük bir A sayısı daha bulduğumuza göre varsayımımız yanlıştır. O halde asal sayılar sonlu sayıda değildir.
Matematiksel mantığın reddedilemez müziği Öklid’in bu teoreminde mükemmel bir şekilde yankılanır. Sadece içerik değil, ispatın metodolojisi de kendi içinde çekici bir gösteri oluşturur. Öklid, kapsamlı hesaplamalara ya da anlaşılması zor karmaşık türetmelere bel bağlamamıştır. İspat, ustaca akıl yürütme ve tam bir açıklıkla güçlü bir şekilde ayakta durmaktadır.
Öklid’in bu teoreminin zenginliği, matematiksel alanının çok ötesinde yankılanarak felsefe ve metafiziğe kadar uzanır. Görünürdeki sonluluğun ötesinde yatan sonsuzluğun, bolluğun farkına varmak bizi büyüler. Teorem huşu ve ilham uyandırır. Bize bazı basit gerçeklerin büyüleyici anlam derinliklerine sahip olabileceğini hatırlatır.
Gizem, güzellik, sonsuzluk – ki bunlar yalnızca sanata ya da bilime özgü nitelikler değil, evrensel gerçeklerdir- ve asal sayılar, gizemleriyle sarmalanmış olarak önümüze serilir. Öklid’in teoremi bu özü takdire şayan bir şekilde yansıtır ve anlaşılmaz evrenimizi yönlendiren akıllı tasarıma bir övgü niteliğindedir.
Öklid’in görünüşte basit olan teoremi, asal sayılardan oluşan karmaşık bir kumaşı işleme işi yapıyormuş gibi, mantık ve sonsuzluğun zarif bir dansını gözler önüne serer. Matematiksel kavramların engin denizinde ışıltılı bir fener gibi duran bu denklemin büyüleyici güzelliği, sayıların ahengi içinde gizlidir. Bir anlamda ebedi bir senfoninin orkestrasıdır. Bu teoremin güzelliği, asal sayıların görünürdeki rastlantısallığındaki örüntülerin ısrarlı arayışında, yüzyıllar süren matematiksel keşifler boyunca yankılanır.