Srinivasa Ramanujan

İçindekiler (15)

• Yoksulluk Yıllarından Madras Liman İdaresi'ne: Bir Dehanın Hayatta Kalma Mücadelesi
• Hardy'ye Yazılan Mektup ve Cambridge Yolculuğu Nasıl Başladı?
• Ramanujan'ın Sezgisel Dehası ve Sıra Dışı Çalışma Metodolojisi
• Parçalama Fonksiyonu ve Hardy ile Yapılan Devrimsel Ortaklık
• 1729 Sayısının Büyüsü: Hardy ile Hastane Odasında Geçen Meşhur Diyalog
• Kraliyet Cemiyeti Üyeliği, Hastalık ve Zamansız Kayıp
• Ramanujan'ın Kayıp Defteri ve Geleceğe Kalan Mirası
• Sonuç: Sayıların Sonsuzluğunda Yaşayan Bir Deha
• Sık Sorulan Sorular
  • Srinivasa Ramanujan kimdir ve neden bu kadar ünlüdür?
  • 1729 sayısı neden Hardy-Ramanujan sayısı olarak bilinir?
  • Ramanujan'ın Kayıp Defteri nedir?
  • Ramanujan formülleri nasıl bulduğunu söylerdi?
• Kaynaklar
• İleri Okuma

Srinivasa Ramanujan, hiçbir akademik çevrenin ve formel eğitimin desteğini almadan yalnızca kendi sezgileriyle modern matematiğin en karmaşık problemlerini çözen efsanevi bir Hintli matematikçidir. 22 Aralık 1887'de Hindistan'ın Erode kentinde dünyaya gelen bu sıra dışı dâhi, sayılar teorisine, sonsuz serilere, sürekli kesirlere ve parçalama fonksiyonuna yaptığı benzersiz katkılarla bilim dünyasında kalıcı bir devrim yaratmıştır. Eğer insan zihninin sınırlarını, yokluk içinden dünya çapında bir bilim anıtına dönüşen ilham dolu bir yaşam öyküsünü ve sayılarla konuşan bir dehanın sırlarını merak ediyorsanız, Srinivasa Ramanujan'ın hayatına yakından bakabilirsiniz.

Srinivasa Ramanujan, 19. yüzyılın sonlarında Güney Hindistan'da geleneksel ve yoksul bir Tamil Brahmin ailesinin çocuğu olarak doğan, sayılar teorisinde çığır açmış dâhi bir matematikçidir. Babası bir kumaş tüccarının yanında kâtiplik yaparken, annesi yerel bir tapınakta ilahiler söyleyerek aile bütçesine katkı sağlamaya çalışıyordu. Kumbakonam kasabasında mütevazı bir çocukluk geçiren Ramanujan, erken yaşlardan itibaren sayılara karşı olağanüstü bir merak ve hafıza sergileyerek öğretmenlerini şaşkına çevirmiştir.

Onun dehasını tutuşturan asıl kıvılcım, henüz 15 yaşındayken İngiliz matematikçi George Shoobridge Carr tarafından kaleme alınan iki ciltlik bir derleme kitabını eline geçirmesiyle çakmıştır. Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics adını taşıyan bu eser, 1860 öncesine ait yaklaşık 5.000 teorem ve formülü neredeyse hiçbir ispat sunmaksızın art arda sıralayan didaktik bir özetten ibaretti. Ramanujan, kitaptaki tüm sonuçları tek tek doğruladıktan sonra bu sınırların çok ötesine geçerek kendi orijinal formüllerini ve özgün teorilerini üretmeye başlamıştır.

Bu derin matematik tutkusu, ne yazık ki onun resmi okul hayatında büyük bir engele dönüşmüştür. 1903 yılında üstün başarısı sayesinde Madras Üniversitesi Hükümet Koleji'nden burs kazanmış; ancak matematikten başka hiçbir dersle ilgilenmediği için İngilizce, tarih ve fizyoloji gibi sınavlardan kalarak ertesi yıl bursunu kaybetmiştir. Başka bir üniversiteye geçiş denemesi de aynı odaklanma sorunu yüzünden başarısızlıkla sonuçlanınca, Ramanujan diplomasız ve işsiz bir genç olarak sokakta kalmıştır.

Yoksulluk Yıllarından Madras Liman İdaresi'ne: Bir Dehanın Hayatta Kalma Mücadelesi

Srinivasa Ramanujan'ın gençlik yılları, açlık sınırında geçen zorlu bir yoksulluk, işsizlik ve anlaşılma mücadelesiyle şekillenmiştir. 1909 yılında Janaki Ammal ile evlendikten sonra ailesini geçindirebilmek için kapı kapı dolaşarak bir memuriyet aramaya başlamıştır. Yanında taşıdığı ve içi daha önce görülmemiş matematiksel formüllerle dolu kalın defterlerini göstererek yetkililerden himaye talep etmiştir.

Bu arayışlar sırasında Hint Matematik Derneği'nin kurucularından olan vergi dairesi yetkilisi Ramachandra Rao ile tarihi bir görüşme gerçekleştirmiştir. Rao, genç adamın defterlerindeki akıl almaz denklemleri gördüğünde onun bir sahtekâr mı yoksa benzersiz bir dâhi mi olduğunu ilk başta anlayamamış; ancak kısa sürede karşılaştığı şeyin devasa bir yetenek olduğunu kavramıştır. Rao, Ramanujan'ın araştırmalarını sürdürebilmesi için ona kişisel olarak aylık bir ödenek sağlamayı teklif etmiş; fakat Ramanujan kimseden karşılıksız yardım almayı kabul etmeyerek bir işte çalışmakta ısrar etmiştir.

Bunun üzerine 1912 yılında Madras Liman İdaresi'nde aylık 30 rupi gibi son derece mütevazı bir maaşla muhasebe kâtibi olarak çalışmaya başlamıştır. Bu iş onun hayatında bir dönüm noktası olmuş; amiri Sir Francis Spring ve başmuhasebeci S. Narayana Iyer, Ramanujan'ın boş zamanlarında masasında matematik çalışmasına içtenlikle izin vermiştir. Kâğıt satın alacak parası olmadığı için hesaplamalarını önce bir kayrak taşı (yazı tahtası) üzerine tebeşirle yapmış, dirseğiyle silerek defalarca kullanmış ve yalnızca ulaştığı nihai sonuçları özenle defterlerine kaydetmiştir.

Ramanujan, ilk akademik makalesini 1911 yılında Journal of the Indian Mathematical Society dergisinde Bernoulli sayıları üzerine yayımlayarak bilim çevrelerinde adını duyurmaya başlamıştır. Onun bu ilk yayını, karmaşık serilerin özelliklerini basitleştiren parlak yaklaşımlar içeriyor ve Hindistan'daki araştırmacıların dikkatini güçlü bir şekilde üzerine çekiyordu.

Hardy'ye Yazılan Mektup ve Cambridge Yolculuğu Nasıl Başladı?

Ramanujan'ın uluslararası bilim sahnesine çıkışı, 16 Ocak 1913 tarihinde Cambridge Üniversitesi'nin ünlü matematikçisi Godfrey Harold Hardy'ye yazdığı ve içinde 120 adet teorem barındıran tarihi mektupla başlamıştır. Ramanujan daha önce iki ünlü İngiliz profesöre mektup göndermiş; ancak her ikisi de mektupları ciddiye almayıp yanıtsız bırakmıştı. Hardy ise sabah kahvaltısında eline geçen bu mektubu incelediğinde, önce bunun usta bir şakacının elinden çıkmış bir aldatmaca olduğunu düşünmüştür.

Akşam meslektaşı J. E. Littlewood ile birlikte mektuptaki formülleri satır satır inceleyen Hardy, hayatının en sarsıcı zihinsel aydınlanmalarından birini yaşamıştır. Mektupta yer alan formüllerin bir kısmı zaten bilinen teoremlerdi; bir kısmı doğruydu fakat daha önce hiç görülmemiş yöntemlerle bulunmuştu; bir kısmı ise tamamen akıl almaz ve büyüleyiciydi. Hardy, daha sonra kaleme alacağı anılarında bu mektup hakkında şu tarihi değerlendirmeyi yapmıştır:

"Mektuptaki sonuçların tek bir bakışta bile anlaşılabilmesi imkânsızdı; ancak bunların daha önce hiç görmediğim kadar tuhaf ve özgün formüller olduğu açıktı. Bu formülleri okuduğumda tek bir şeye kesinlikle emin oldum: Bunlar doğru olmak zorundaydı, çünkü hiç kimse bu kadar kusursuz şeyleri uydurabilecek bir hayal gücüne sahip olamazdı."

Hardy, vakit kaybetmeden Ramanujan'ı İngiltere'ye davet etmek için harekete geçti. Ancak o dönemde katı bir Ortodoks Brahmin olan Ramanujan için deniz aşırı bir ülkeye seyahat etmek, dini kurallara göre kastını kaybetmek ve aforoz edilmek anlamına geliyordu. Bu büyük engel, Ramanujan'ın annesinin rüyasında ailelerinin koruyucu tanrıçası Namagiri'yi görmesi ve tanrıçanın oğlunun İngiltere'ye gitmesine izin vermesiyle nihayet aşıldı. 17 Mart 1914'te gemiye binen Ramanujan, Nisan ayında Londra'ya ulaşarak Trinity College'da Hardy ile buluştu.

Ramanujan'ın Sezgisel Dehası ve Sıra Dışı Çalışma Metodolojisi

Ramanujan'ın matematiksel metodolojisi, Batı akademisinin katı aksiyomatik ispat kurallarından tamamen farklı olarak, doğrudan sezgiye, örüntü tanımaya ve ilahi bir ilhama dayanan benzersiz bir yapı sergilemiştir. Ramanujan, formüllerin kendisine rüyalarında Namakkal Tanrıçası Namagiri tarafından vahyedildiğini açıkça ifade ederdi. Onun için bir denklem, yalnızca kuru bir mantık zinciri değil; doğrudan evrenin kutsal ahengini yansıtan manevi bir ifadeydi.

Cambridge'e ulaştığında onun bilgi birikimi Hardy'yi hayretler içerisinde bıraktı. Ramanujan; sürekli kesirler, hipergeometrik seriler, eliptik integraller ve Riemann zeta fonksiyonunun işlevsel denklemleri konusunda dünyanın yaşayan hiçbir matematikçisinde bulunmayan olağanüstü bir kavrayışa sahipti. Hatta sonsuz ıraksak serilerin toplanmasında kendi geliştirdiği ve günümüzde "Ramanujan Toplamı" olarak anılan özel bir yöntem kullanıyordu.

Buna karşılık Batı matematiğinin temel direkleri sayılan bazı alanlardan neredeyse tamamen habersizdi. Çift periyodik fonksiyonlar, klasik kuadratik formlar veya karmaşık analizde hayati önem taşıyan Cauchy teoremi hakkında hiçbir fikri yoktu. En önemlisi, formel bir matematiksel ispatın ne anlama geldiğine dair zihninde son derece belirsiz bir kavram vardı. Hardy, onun bu saf dehasını ve eksik yönlerini dengeleyebilmek için büyük bir hassasiyetle çalıştı; dehanın özgün parıltısını kırmadan ona modern ispat tekniklerini öğretmeye gayret etti.

Aşağıdaki karşılaştırma tablosu, Ramanujan'ın derinlemesine uzmanlaştığı çalışma alanlarını, bu alanlardaki katkılarını ve modern bilimdeki karşılıklarını özetlemektedir:

Matematiksel Çalışma Alanı	Ramanujan'ın Özgün Katkısı	Bilim ve Teknolojideki Günümüz Karşılığı
Parçalama Teorisi (Partitions)	Hardy ile birlikte geliştirdiği asimptotik formül ve çember yöntemi	İstatistiksel fizik, kuantum alan teorisi ve polimer zincir modellemeleri
Sürekli Kesirler (Continued Fractions)	Rogers-Ramanujan özdeşlikleri ve olağanüstü kesir açılımları	Kriptoloji, sayısal analiz algoritmaları ve kuantum kaos teorisi
Iraksak Seriler (Divergent Series)	Ramanujan toplamı tekniği ile serilere sonlu değerler atama	Sicim teorisi (String Theory) ve kuantum elektrodinamiğindeki Casimir etkisi
Modüler Formlar ve Sahte Teta	Ölüm döşeğinde ürettiği Sahte Teta (Mock Theta) fonksiyonları	Kara deliklerin entropi hesaplamaları ve kozmolojik tekillik analizleri
Pi Sayısı Formülleri	Hızla yakınsayan akıl almaz sonsuz seri açılımları	Süper bilgisayarların işlemci testleri ve milyonlarca basamak hesaplaması

Tabloda da açıkça görüldüğü üzere, Ramanujan'ın 20. yüzyılın başında sadece saf matematik merakıyla defterlerine karaladığı formüller, günümüzde teorik fiziğin en uç noktası olan sicim teorisi ve kara delik fiziğinin temel hesaplamalarında kullanılmaktadır.

Parçalama Fonksiyonu ve Hardy ile Yapılan Devrimsel Ortaklık

Parçalama fonksiyonu (partition function), pozitif bir tam sayının, kendisinden küçük pozitif tam sayıların toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabileceğini hesaplayan ve kombinatoriğin en zorlu problemlerinden birini oluşturan matematiksel bir yapıdır. Sayılar büyüdükçe bu parçalanma kombinasyonlarının sayısı kontrol edilemez bir hızla ve astronomik ölçekte artar. Örneğin basit bir incelemeyle küçük sayıların parçalanma basamakları şu şekilde gösterilebilir:

• 1 sayısı: Yalnızca 1 olarak yazılabilir (1 farklı biçim).
• 2 sayısı: 2 veya 1 + 1 şeklinde yazılabilir (2 farklı biçim).
• 3 sayısı: 3, 2 + 1 veya 1 + 1 + 1 şeklinde yazılabilir (3 farklı biçim).
• 4 sayısı: 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1 veya 1 + 1 + 1 + 1 şeklinde ifade edilir (5 farklı biçim).
• 5 sayısı: Toplam 7 farklı parçalanma biçimine sahiptir.

İlk bakışta basit görünen bu aritmetik, sayı 200 değerine ulaştığında insan aklını zorlayan bir karmaşıklığa bürünür; nitekim 200 sayısının parçalanma biçimlerinin sayısı neredeyse 4 trilyona (tam olarak 3.972.999.029.388) ulaşır. Ramanujan'dan önce matematikçiler, büyük sayıların parçalanma miktarını tam olarak veren genel bir formülün var olabileceğine dahi inanmıyorlardı.

Ramanujan ve Hardy, Trinity College'da güçlerini birleştirerek tarihe "Hardy-Ramanujan Çember Yöntemi" olarak geçecek muazzam bir analitik yaklaşım inşa ettiler. Bu yöntem sayesinde herhangi bir büyük sayının parçalama değerini olağanüstü bir doğrulukla hesaplayan asimptotik bir formül elde ettiler. Yapılan bu çalışma, modern analitik sayılar teorisinin en parlak başarılarından biri olarak kabul edildi ve İngiliz akademik dünyasında Ramanujan'ın saygınlığını tartışmasız bir zirveye taşıdı.

1729 Sayısının Büyüsü: Hardy ile Hastane Odasında Geçen Meşhur Diyalog

1729 sayısı, matematik tarihine "Hardy-Ramanujan sayısı" veya "Taksi Kabin Sayısı" (Taxicab number) olarak geçen ve Ramanujan'ın sayılarla kurduğu derin dostluğu en güzel özetleyen tarihi simgedir. Birinci Dünya Savaşı yıllarında Londra'nın ağır hava koşulları ve vejetaryen beslenme zorluğu nedeniyle sağlığı bozulan Ramanujan, Putney'deki bir sanatoryumda tedavi görmekteydi. Hardy, hasta yatağındaki dostunu ziyaret etmek için bindiği 1729 plakalı bir taksiyle hastaneye ulaştı.

Odaya girdiğinde Hardy, sohbet başlatmak amacıyla biraz da canı sıkkın bir edayla şu sözleri söyledi:

"Buraya 1729 numaralı bir taksiyle geldim. Bana son derece donuk, sıkıcı ve uğursuz bir sayı gibi geldi; umarım bu kötü bir alamet değildir."

Ramanujan, yatağında hiç duraksamadan ve gözleri parlayarak şu efsanevi cevabı verdi:

"Hayır Hardy, kesinlikle yanılıyorsun! 1729 sayısı asla sıkıcı değildir; aksine son derece büyüleyici bir sayıdır. Çünkü 1729, iki ayrı küpün toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilen en küçük pozitif tam sayıdır."

Ramanujan'ın zihninde saniyeler içinde beliren bu bağıntı; 1 sayısının küpü ile 12 sayısının küpünün toplamının (1 + 1728 = 1729) yanı sıra, 9 sayısının küpü ile 10 sayısının küpünün toplamına da (729 + 1000 = 1729) eşit olduğunu gösteriyordu. Bu tarihi enstantane, Ramanujan'ın sayıları soyut matematiksel semboller olarak değil; her birini kendine has kişiliği, karakteri ve özellikleri olan canlı birer dost gibi tanıdığını tüm dünyaya kanıtlamıştır.

Hardy, matematikçileri değerlendirmek için kafasında kurduğu 100 puanlık yetenek skalasında kendisine 25, yakın çalışma arkadaşı Littlewood'a 30, dönemin en büyük matematik dehası kabul edilen David Hilbert'e 80 puan verirken; Srinivasa Ramanujan'a tereddütsüz 100 tam puan vermiştir.

Kraliyet Cemiyeti Üyeliği, Hastalık ve Zamansız Kayıp

Ramanujan, 1918 yılında henüz 30 yaşındayken bilim dünyasının en prestijli kurumlarından biri olan Londra Kraliyet Cemiyeti'ne (Royal Society) üye seçilen ilk Hintlilerden biri olarak tarihe geçmiştir. Aynı yıl Trinity College üyeliğine de kabul edilmiş; bu başarılar ona hem geniş bir akademik özgürlük hem de kalıcı bir maddi güvence sağlamıştır. Ancak savaş dönemi İngiltere'sinde taze sebze ve meyve bulmanın neredeyse imkânsız olması, onun katı vejetaryen bünyesini ağır bir yıkıma uğratmıştır.

O dönemde verem (tüberküloz) teşhisi konulan ancak modern tıbbi araştırmalara göre muhtemelen tropikal bir karaciğer enfeksiyonu (hepatik amipli dizanteri) geçirdiği anlaşılan Ramanujan'ın sağlığı hızla bozuldu. Birinci Dünya Savaşı'nın sona ermesi ve deniz yollarının yeniden açılmasıyla birlikte 1919 yılında anavatanı Hindistan'a geri döndü. Sıcak iklimin ve ailesinin bakımının onu iyileştireceği umuluyordu; ancak hastalık vücudunu tamamen tüketmişti.

Srinivasa Ramanujan, 26 Nisan 1920 tarihinde Kumbakonam'da henüz 32 yaşındayken hayata gözlerini yumdu. Ömrünün son günlerinde dahi yatağında kâğıt ve kalemini elinden düşürmemiş; Hardy'ye gönderdiği son mektuplarında "Sahte Teta Fonksiyonları" (Mock Theta Functions) adını verdiği yepyeni bir matematiksel alanın temellerini atmıştır. Leonhard Euler ve Carl Gustav Jacobi gibi devlerle kıyaslanan bu benzersiz zekâ, arkasında sayısız çözülmemiş sır bırakarak aramızdan ayrılmıştır.

Ramanujan'ın Kayıp Defteri ve Geleceğe Kalan Mirası

Ramanujan'ın vefatından sonra geride bıraktığı üç kalın ciltlik not defteri ve yüzlerce dağınık sayfa, matematik dünyasında uzun yıllar sürecek bir define avını başlatmıştır. Bu notlar, ispatı yazılmamış binlerce teorem, kimsenin o güne kadar düşünemediği özdeşlikler ve sezgisel formüllerle doluydu. Matematikçiler, aradan geçen bir asra rağmen onun defterlerindeki her bir satırı doğrulamak için devasa mesailer harcamıştır.

1976 yılında Amerikalı matematikçi George Andrews, Cambridge Trinity College kütüphanesinin arşivlerinde Ramanujan'ın hayatının son yılına ait 138 sayfalık yayımlanmamış notlarını gün yüzüne çıkarmıştır. Bilim dünyasında "Ramanujan'ın Kayıp Defteri" (The Lost Notebook) olarak adlandırılan bu tarihi evrak, özellikle sahte teta fonksiyonları üzerine 600'den fazla şaşırtıcı formül barındırmaktaydı. Bruce C. Berndt ve ekibi, onlarca yıl süren titiz araştırmalar neticesinde Ramanujan'ın defterlerindeki teoremleri çok ciltlik devasa eserler hâlinde ispatlayarak literatüre kazandırmıştır.

Onun ardında bıraktığı mirasın kıymetini en iyi anlatan gerçeklerden biri; Hindistan hükümetinin Ramanujan'ın doğum günü olan 22 Aralık tarihini her yıl resmi olarak "Ulusal Matematik Günü" ilan etmesidir. Ramanujan, formel eğitim kalıplarının sınırlandıramayacağı saf insan zekâsının ve tutkunun tüm dünyadaki en ilham verici sembolü olmaya devam etmektedir.

Sonuç: Sayıların Sonsuzluğunda Yaşayan Bir Deha

Srinivasa Ramanujan, yokluğun ve imkânsızlıkların ortasından çıkarak saf zekâ ve tutkuyla dünya bilim tarihinin zirvesine yerleşen eşsiz bir kutup yıldızıdır. Yalnızca 32 yıl süren kısa ömrüne binlerce yıllık matematik birikimini sarsacak buluşlar sığdırmış; Euler ve Jacobi'den bu yana gelen en saf sayılar teorisi dehası olduğunu kanıtlamıştır. Onun Hindistan tapınaklarının avlularından Cambridge'in taş koridorlarına uzanan büyüleyici yolculuğu, bilginin hiçbir coğrafi, sınıfsal veya akademik sınır tanımadığının en somut kanıtı olarak insanlığa ilham vermeyi sürdürmektedir.

Sık Sorulan Sorular

Srinivasa Ramanujan kimdir ve neden bu kadar ünlüdür?

Srinivasa Ramanujan, hiçbir formel ileri matematik eğitimi almamasına rağmen sayılar teorisi, sürekli kesirler ve parçalama fonksiyonu üzerine binlerce orijinal teorem geliştiren dâhi bir Hintli matematikçidir. Cambridge Üniversitesi'nde G. H. Hardy ile kurduğu ortaklık ve geride bıraktığı devrimsel formüller onu 20. yüzyılın en büyük bilim insanlarından biri yapmıştır.

1729 sayısı neden Hardy-Ramanujan sayısı olarak bilinir?

1729 sayısı, iki ayrı pozitif tam sayının küplerinin toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilen en küçük sayıdır (1'in küpü + 12'nin küpü ve 9'un küpü + 10'un küpü). Hardy bu sayıyı hastane ziyaretinde sıkıcı bir plaka numarası olarak nitelendirmiş; Ramanujan ise anında sayının bu eşsiz matematiksel özelliğini açıklayarak onu tarihe geçirmiştir.

Ramanujan'ın Kayıp Defteri nedir?

Ramanujan'ın Kayıp Defteri, ömrünün son yılında Hindistan'da hasta yatağındayken kaleme aldığı ve 1976 yılında matematikçi George Andrews tarafından Cambridge kütüphanesinde tesadüfen bulunan 138 sayfalık el yazması koleksiyonudur. İçerisinde sahte teta fonksiyonları ve modüler formlara dair yüzlerce devrimsel formül yer almaktadır.

Ramanujan formülleri nasıl bulduğunu söylerdi?

Ramanujan, ulaştığı formüllerin ve teoremlerin kendisine rüyalarında ailesinin geleneksel koruyucu tanrıçası olan Namakkal Tanrıçası Namagiri tarafından fısıldandığını belirtirdi. Onun için matematik, Tanrı'nın evrendeki düzenini ve düşüncelerini yansıtan kutsal bir lisan niteliğindeydi.

Kaynaklar

• Kanigel, Robert. Sonsuzluğu Bilen Adam: Dâhi Matematikçi Ramanujan'ın Hayatı. Çeviren: Barış Gönülşen. İstanbul: TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, 2011.
• Hardy, Godfrey Harold. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Cambridge: Cambridge University Press, 1940.
• Andrews, George E. ve Berndt, Bruce C. Ramanujan's Lost Notebook: Part I-V. New York: Springer, 2005-2018.
• Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Volumes 1-5. New York: Springer-Verlag, 1985-1998.
• Carr, George Shoobridge. A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics. London: C. F. Hodgson and Son, 1886.

İleri Okuma

• Littlewood, John Edensor. A Mathematician's Miscellany. London: Methuen & Co., 1953.
• Hardy, Godfrey Harold. Bir Matematikçinin Savunması. Çeviren: Nermin Arık. İstanbul: TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, 1993.
• Ono, Ken ve Aczel, Amir D. My Search for Ramanujan: How I Learned to Count. New York: Springer, 2016.